n分之一的前n项和？_消费生活

n分之一的前n项和？

创始人

2025-06-23 03:13:04

n分之一的前n项和？

Sn=1+1/2+1/3+...+1/n是调和级数,也是一个发散级数,它没有通项公式.

但它可以用一些公式去逼近它的和,

如有：1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1),当n很大时,它们之间的差就非常小灶悄冲,

这时就可以近似用ln(n+1)来代替.

由x>ln(x+1)(x>运春0),这可以利用导数证明,略.

然后取x=1/n,所以1/n>ln(1/n+1)=ln(n+1)-lnn,然后由1/n>ln(n+1)-lnn进行累加,

就可得1+1/隐歼2+1/3+...+1/n>ln(n+1).

可以到mathlab计算器上验碧巧证，这个表达式算出来的结果是对的，不洞歼过美中不足的就是计算最终表达式，这个原函数因为受个人知识有限，没能推出来，有请各路大神在本贴下评论出原函数的表达式。

n分之一的前n项和是发散的悔颤键，即n趋紧无穷大时，S(n)的值也趋近无穷大。

证明如下

证：不等式 x>ln(1+x) (x>0) Sn=1+1/2+1/3+···+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+···+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+···+ln((n+1)/n)=ln(2*(3/2)*(4/3)*···*((n+1)/n))=ln(1+n)

因为lim[n→∞]ln(1+n)=+∞，所以lim[n→∞]Sn=+∞,故发散

所有调和级数都是发散的。调和级数即1/An的前n项和，其中An是不全为零的等差数列。

这是1/n求和,没有公式计算的
自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几燃陪百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):
利用“欧拉公式”1+1/2+1/3+.+1/n≈lnn+C(C=0.57722.一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)
人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.
但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发敏则散的,它们都有求和公式.
学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：
　　由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
　　=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…桥段棚+ln[(n+1)/n]
　　=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
　　由于
　　lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
　　所以Sn的极限不存在,调和级数发散.

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