梯 形
创始人
2025-07-17 01:17:01
梯 形如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，AC与BD相交于点O.若EF为中位线，且EO=(1/2)*AB. (1)求证:AC⊥BD; (2)若BD=2ab，AC=a^2-b^2，(a>b>0)，求EF的长.
(1)EF为梯形中位线，故E为AB中点，在三角形ABO中，OE为底边AB的中线，因EO=(1/2)*AB，故角AOB为直角，即得AC⊥BD
(2)把AC平移出来，过D做一条直线与AC平行，与BC的延长线交于G,
得到三角形BDG为一直角三角形，且三角形的面积与梯形的面积相等，因为BCG=ADC=ADB这三个三角形的面积相等的，根据勾股定理可以得到BG的长度，得BG^2=a^4+b^4-2a^2b^2+4a^2b^2=(a^2+b^2)^2，得到BG=a^2+b^2
又因为在平行四边形ADGC中AD=GC，故BG=BC+CG=BC+AD=2EF，
得到EF=BG/2=(a^2+b^2)/2
(1)EF为梯形中位线，故E为AB中点，在三角形ABO中，OE为底边AB的中线，因EO=(1/2)*AB，故角AOB为直角，即得AC⊥BD
(2)把AC平移出来，过D做一条直线与AC平行，与BC的延长线交于G,
得到三角形BDG为一直角三角形，且三角形的面积与梯形的面积相等，因为BCG=ADC=ADB这三个三角形的面积相等的，根据勾股定理可以得到BG的长度，得BG^2=a^4+b^4-2a^2b^2+4a^2b^2=(a^2+b^2)^2，得到BG=a^2+b^2
又因为在平行四边形ADGC中AD=GC，故BG=BC+CG=BC+AD=2EF，
得到EF=BG/2=(a^2+b^2)/2
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